Question

（本小題滿分14分）

設(shè)橢圓E: =1（a,b>0）過(guò)M（2，），N(,1)兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

（I）求橢圓E的方程；

（II）是否存在圓心的原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且？若存在，寫(xiě)出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說(shuō)明理由。

Answer 1

（I）=1. （II）

解析:

（I）∵橢圓E: =1（a,b>0）過(guò)M（2，），N(,1)兩點(diǎn)，

∴,解得,所以橢圓E的方程為=1.

（II）假設(shè)存在該圓，滿足條件，則要使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)，

只該圓在橢圓內(nèi)部,設(shè)該圓的方程為,則

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)該圓的切線方程為,解方程組得,即,則△=,即,,

要使,需使,

即,所以,所以,又,所以,所以,即或,因?yàn)橹本�為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,所求的圓為,此時(shí)圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)切線為與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為或滿足,

又

，

當(dāng)是，，當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，故,當(dāng)不存在時(shí),,

綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且,且的取值范圍是.