Question

 設橢圓E： （）過，兩點，為坐標原點，

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點且？若存在，寫出該圓的方程，并求的取值范圍，若不存在說明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解析；（1）因為橢圓E； （a，b>0）過M（2，） ，N(，1)兩點，

所以解得所以橢圓E的方程為

（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且，設該圓的切線方程為解方程組得，

即，

則△=，即

，

要使，需使，即，

所以，所以又，

所以，所以，即或，

因為直線為圓心在原點的圓的一條切線，

所以圓的半徑為，，，

所求的圓為，此時圓的切線都滿足或，

而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足，

綜上， 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且．

因為，

所以，

， 

①當時

因為所以，

所以，

所以當且僅當時取”=”．

②  當時，．

③  當AB的斜率不存在時， 兩個交點為或，所以此時，

綜上， |AB |的取值