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已知圓(x+4)2+y2=25的圓心為M1,圓(x-4)2+y2=1的圓心為M2,動圓與這兩個圓都外切,則動圓圓心的軌跡方程為
x2
4
-
y2
12
=1(x≥2)
x2
4
-
y2
12
=1(x≥2)
分析:根據兩圓外切的性質,動圓圓心到點M1的距離與它到M2的距離之差為4(常數),由此可得動圓圓心的軌跡是以M1、M2為左、右焦點,2a=4的雙曲線右支,再結合雙曲線的基本量及其關系,不難求出相應的軌跡方程.
解答:解:圓(x+4)2+y2=25的圓心為M1(-4,0),半徑為5;
而圓(x-4)2+y2=1的圓心為M2(4,0),半徑為1.
設動圓M與圓M1和M2都相外切,動圓半徑為R,則
|MM1|=R+5,|MM2|=R+1,可得|MM1|-|MM2|=4,
∴點M在以M1、M2為左、右焦點,2a=4的雙曲線右支上
a=2且c=4,可得b2=c2-a2=12
∴雙曲線方程為
x2
4
-
y2
12
=1,
因此,動圓圓心的軌跡方程為:
x2
4
-
y2
12
=1(x≥2)
故答案為:
x2
4
-
y2
12
=1(x≥2)
點評:本題給出動圓與兩個定圓都相外切,求動圓圓心的軌跡方程,著重考查了兩圓的位置關系和雙曲線的定義與標準方程等知識,屬于基礎題.
練習冊系列答案
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已知圓(x+4)2+y2=25的圓心為M1,圓(x-4)2+y2=1的圓心為M2,一動圓與這兩個圓都外切.
(1)求動圓圓心P的軌跡方程;
(2)若過點M2的直線與(1)中所求軌跡有兩個交點A、B,求|AM1|•|BM1|的取值范圍.

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A、12<a<16B、12<a<14C、10<a<16D、13<a<15

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(2)求動圓圓心P的軌跡方程.

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(Ⅰ)求動圓圓心M的軌跡C的方程;
(Ⅱ)若經過點M2的直線與(Ⅰ)中的軌跡C有兩個交點A、B,求|AM1|•|BM1|的最小值.

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已知圓(x+4)2+y2=25圓心為M1,(x-4)2+y2=1的圓心為M2,一動圓與這兩個圓都外切,求動圓圓心的軌跡方程.

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