Question

已知圓（x+4）²+y²=25的圓心為M₁，圓（x-4）²+y²=1的圓心為M₂，動圓與這兩個圓都外切，則動圓圓心的軌跡方程為

x2

4

-

y2

12

=1（x≥2）

．

Answer 1

分析：根據兩圓外切的性質，動圓圓心到點M₁的距離與它到M₂的距離之差為4（常數），由此可得動圓圓心的軌跡是以M₁、M₂為左、右焦點，2a=4的雙曲線右支，再結合雙曲線的基本量及其關系，不難求出相應的軌跡方程．

解答：解：圓（x+4）²+y²=25的圓心為M₁（-4，0），半徑為5；
而圓（x-4）²+y²=1的圓心為M₂（4，0），半徑為1．
設動圓M與圓M₁和M₂都相外切，動圓半徑為R，則
|MM₁|=R+5，|MM₂|=R+1，可得|MM₁|-|MM₂|=4，
∴點M在以M₁、M₂為左、右焦點，2a=4的雙曲線右支上
a=2且c=4，可得b²=c²-a²=12
∴雙曲線方程為

x2

4

-

y2

12

=1，
因此，動圓圓心的軌跡方程為：

x2

4

-

y2

12

=1（x≥2）
故答案為：

x2

4

-

y2

12

=1（x≥2）

點評：本題給出動圓與兩個定圓都相外切，求動圓圓心的軌跡方程，著重考查了兩圓的位置關系和雙曲線的定義與標準方程等知識，屬于基礎題．