Question

已知點Q位于直線x=-3右側，且到點F（-1，0）與到直線x=-3的距離之和等于4．
（Ⅰ）求動點Q的軌跡C的方程；
（Ⅱ）直線L過點M（1，0）且交曲線C于
A、B兩點（A、B不重合），點P滿足，其中點E的坐標為（x，0），試求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設出點Q，根據兩點間的距離公式，依據題意建立等式求得x和y的關系式，整理可知點Q的軌跡拋物線的一部分．
（Ⅱ）設直線L的方程，及A，B的坐標，把直線和拋物線方程聯立消去y，根據韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而建立不等式組，求得k的范圍，進而根據可知，點P為線段AB的中點，P的坐標可知，由可知，EP⊥AB，分別表示出二者的斜率，其乘積為-1求得x的關于k的表達式，根據k的范圍確定x的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）設點Q（x，y）（x＞-3），
由題意有，
整理得y²=-4x，x∈（-3，0]
∴動點Q的軌跡C為以F（-1，0）為焦點，
坐標原點為頂點的拋物線在直線x=-3右側的部分．

（Ⅱ）由題意可設直線L的方程為y=k（x-1）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）由，
得k²x²+（4-2k²）x+k²=0，
由題意解之得
由可知，點P為線段AB的中點，∴．
由可知，EP⊥AB，∴，
整理得，
∴x的取值范圍是
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．解題時應充分發揮判別式和韋達定理在解題中的作用．