Question

設a∈R，f（x）=cosx（asinx-cosx）+sin²x的定義域是[

π

4

，

11

24

π]，f(

π

4

)=

3

．給出下列幾個命題：
①f（x）在x=

π

4

處取得小值；
②[

5

12

π，

11

24

π]是f（x）的一個單調遞減區間；
③f（x）圖象向左平移

π

12

個單位，將得到函數y=2sin2x的圖象；
④使得f（x）取得最大值的點僅有一個x=

π

3

．
其中正確命題的序號是

 

．（將你認為正確命題的序號都填上）

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：首先對函數關系式進行恒等變換，進一步利用函數中的已知條件求出函數的解析式，進一步利用函數的性質求出函數的單調區間、最值、函數的平移變換．

解答： 解：①f（x）=cosx（asinx-cosx）+sin²x
=asinxcosx-cos²x+sin²x
=

a

2

sin2x-cos2x
由于：

π

4

≤x≤

11π

24

所以：

π

2

≤2x≤

11π

12

f(

π

4

)=

3

所以：

a

2

sin

π

2

-cos

π

2

=

3

解得：a=2

3

所以f（x）=

3

sin2x-cos2x
=2sin（2x-

π

6

）
當x∈[

π

4

，

π

3

]時，2x-

π

6

∈[

π

3

，

π

2

]，函數f（x）為增函數．
當x∈[

π

3

，

11π

24

]時，2x-

π

6

∈[

π

2

，

3π

4

]，函數為減函數．
所以x∈[

5

12

π，

11

24

π]是f（x）的一個單調遞減區間；
故②正確．
函數f(x)=2sin(2x-

π

6

)向左平移

π

12

個單位得到函數y=2sin2x的圖象；
故③正確．
當函數f（x）取最大值的點僅有一個x=

π

3

故④正確．
由于f(

π

4

)=

3

，f(

11π

24

)=

2

故函數的最小值為：f(

11π

24

)=

2

故①錯誤．
故答案為：②③④

點評：本題考查的知識要點：三角函數關系式的恒等變換，正弦型函數性質的應用，單調性函數的平移變換，函數的最值的應用．