Question

長沙市某棚戶區改造建筑用地平面示意圖如圖所示．經規劃調研確定，棚改規劃建筑用地區域近似地為半徑是R的圓面．該圓面的內接四邊形ABCD是原棚戶建筑用地，測量可知邊界AB=AD=4萬米，BC=6萬米，CD=2萬米．
（1）請計算原棚戶區建筑用地ABCD的面積及圓面的半徑R的值；
（2）因地理條件的限制，邊界AD、DC不能變更，而邊界AB、BC可以調整，為了提高棚戶區改造建筑用地的利用率，請在圓弧ABC上設計一點P；使得棚戶區改造的新建筑用地APCD的面積最大，并求最大值．

Answer 1

解：（1）因為四邊形ABCD內接于圓，
所以∠ABC+∠ADC=180°，連接AC，由余弦定理：
AC²=4²+6²﹣2×4×6×cos∠ABC =4²+2²﹣2×2×4cos∠ADC
所以cos∠ABC=，
∵∠ABC∈（0，π），
故∠ABC=60°．
S_{四邊形ABCD}= ×4×6×sin60°+ ×2×4×sin120°
                    =8（萬平方米）．
在△ABC中，由余弦定理：
AC²=AB²+BC²﹣2ABBCcos∠ABC=16+36﹣2×4×6×．
AC=2．
由正弦定理==2R，
∴2R===，
∴R=（萬米）．
（2）∵S_{四邊形APCD}=S_△ADC+S_△APC，
又S_△ADC=ADCDsin120°=2，
設AP=x，CP=y．則S_△APC=xysin60°=xy．
又由余弦定理AC²=x²+y²﹣2xycos60°=x²+y²﹣xy=28．
∴x²+y²﹣xy≥2xy﹣xy=xy．
∴xy≤28，
當且僅當x=y時取等號
∴S_{四邊形APCD}=2+xy≤2+×28=9，
∴最大面積為9萬平方米．