Question

數列{a_n}的各項均為正值，a₁，對任意n∈N*，，b_n=log₂（a_n+1）都成立．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）當k＞7且k∈N*時，證明對任意n∈N*都有成立．

Answer 1

解：（1）由，得
（a _n+1+2a_n+1）（a _n+1﹣2a_n﹣1）=0，
數列{a_n}的各項為正值，a _n+1+2a_n+1＞0，
∴a _n+1=2a_n+1，
∴a _n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁+1=2≠0，
∴數列{a_n+1}為等比數列．
∴，，即為數列{a_n}的通項公式．
∵b_n=log₂（an+1），
∴．
（2）設S==，
∴2S=（）+（）+（）+…+（），
當x＞0，y＞0時，x+y，，
∴（x+y）（）≥4，
∴，當且僅當x=y時等號成立．
在2S=（）+（）+（）+…+（）中，k＞7，n＞0，n+1，n+2，…，nk﹣1全為正，
所以2S＞+=，
∴S＞＞=2（1﹣）＞2（1﹣）=，
故對任意的n∈N*都有成立．