Question

（2010•孝感模擬）已知函數：（1）f(x)=

1

x

，(2)f(x)=

1

3

x3-x；(3)f(x)=cosx；（4）f(x)=

1

2

ex-x；（5）f（x）=log₂x
其中f（x）對于區間（0，1）上的任意兩個值x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立的函數序號是

（2）（3）（4）

（請把你認為正確的函數序號都填上）．

Answer 1

分析：首先分析題目要求滿足：“對于區間（0，1）上的任意實數x₁，x₂（x₁≠x₂），|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|恒成立”的函數，即找滿足在（0，1）上任意兩點的斜率對值小于等于1的函數．

解答：解：對于（1）：f(x)=

1

x

，|f（x₂）-f（x₁）|=|

1

x1

-

1

x2

|=|

x2-x1

x1x2

|＞|x₂-x₁|（因為x₁，x₂在區間（0，1）上，故x₁x₂小于1），故不符合題意；
對于（2）：f（x）=

1

3

x³-x，|f（x₁）-f（x₂）|=|

1

3

x₁³-x₁-

1

3

x₂³+x₂|=|x₁-x₂|•|

1

3

（x₁²+x₁x₂+x₂²）-1|≤|x₁-x₂|成立，故符合題意；
對于（3）：f（x）=cosx，|f（x₁）-f（x₂）|=|cosx₁-cosx₂|≤|x₁-x₂|，可根據在（0，1）上任意兩點的斜率絕對值小于等于1可知成立，故符合題意；
對于（4）：f（x）=

1

2

ex-x，可根據在（0，1）上任意兩點的斜率對值小于等于1，可知|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，故符合題意；
對于（5）：f（x）=log₂x，可根據在（0，1）上任意兩點的斜率對值大于1，可知|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|不成立，故不符合題意；
故答案為：（2）（3）（4）

點評：本題主要考查絕對值不等式的應用問題，對于此類型的題目需要對題目選項一個一個做分析，然后用排除法作答即可．屬于中檔題．