Question

設數{a_n}的前n項和為S_n，若對任意的n∈N^*，有a_n＞0且 2Sn=

a

2 n

+an成立．
（1）求a₁、a₂的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（3）設數列{a_n}的前n項和為S_n，令Tn=

Sn

cn

，若數列{T_n}為單調遞增數列，求實數c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據對任意的n∈N^*，有a_n＞0且 2Sn=

a

2 n

+an成立，分別令n=1和n=2，能求出a₁，a₂的值．
（2）由2Sn=

a

2 n

+an，得2S_n+1=an+12+an+1，兩式作差可得a_n+1-a_n-1=0，由此能求出數列{a_n}的通項公式a_n．
（3）由a_n=n，得Sn=

n(n+1)

2

，故T_n+1-T_n=

(n+1)(n+2)

2•cn+1

-

n(n+1)

2•cn

=

n+1

2•cn+1

(n+2-cn)，由此進行等價轉化，能夠求出實數c的取值范圍．

解答：解：（1）∵對任意的n∈N^*，有a_n＞0且 2Sn=

a

2 n

+an成立，
∴2S₁=2a1=a12+a1，
即a12-a1=0，
解得a₁=0（舍），a₁=1．…（2分）
2S2=2(1+a2)=a22+a2，
整理，得a22-a2-2=0，
解得a₂=-1（舍），a₂=2．…（4分）
（2）∵2Sn=

a

2 n

+an，
∴2S_n+1=an+12+an+1，
兩式作差可得2S_n+1-2S_n=2a_n+1=an+12+a_n+1-an2-（a_n+1+a_n）=0，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0，…（6分）
因為a_n＞0，所以a_n+1+a_n＞0，
∴a_n+1-a_n-1=0，…（8分）
所以數列{a_n}為等差數列，…（9分）
首項a₁=1，公差為1，所以a_n=n；…（10分）
（3）∵a_n=n，∴Sn=

n(n+1)

2

，…（11分）
∴T_n+1-T_n=

(n+1)(n+2)

2•cn+1

-

n(n+1)

2•cn

=

n+1

2•cn+1

(n+2-cn)，…（12分）
數列{T_n}為單調遞增數列，
當且僅當T_n+1-T_n＞0?n+2-cn＞0?c＜

n+2

n

=1+

2

n

恒成立，…（14分）
即c≤1，…（15分）
顯然c＞0，綜上所述c∈（0，1]．…（16分）

點評：本題考查數列的首項和第二項的求法，考查數列通項公式的求法，考查實數的取值范圍的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．