Question

12．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-m}，x＜2}\\{\frac{mx}{4{x}^{2}+16}，x≥2}\end{array}\right.$，對任意的x₁∈[2，+∞）總存在x₂∈（-∞，2]，使得f（x₁）=f（x₂），則實數m的取值范圍是（　　）

• A． [2，4）
• B． （-∞，4]
• C． [3，4）
• D． （0，4）

Answer 1

分析 分類討論，利用x≥2時函數的值域是x＜2的子集，即可得出結論．

解答 解：由題意，m≤0，x≥2，f（x）＜0，x＜2，f（x）＜2^2-m，滿足題意，
m＞0，x＜2，f（x）＜2^2-m，x≥2，f（x）=$\frac{m}{4x+\frac{16}{x}}$≤$\frac{m}{16}$，
∵對任意的x₁∈[2，+∞）總存在x₂∈（-∞，2]，使得f（x₁）=f（x₂），
∴2^2-m≥$\frac{m}{16}$，∴m≤4，∴0＜m≤4，
綜上所述，m≤4．
故選B．

點評 本題考查分段函數的運用，考查函數的值域，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．