Question

設拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，經過點F的直線交拋物線于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
（y₁＞0，y₂＜0）兩點，M是拋物線的準線上的一點，O是坐標原點，若直線MA、MF、MB的斜率分別記為：k_MA=a、k_MF=b、k_MB=c，（如圖）
（1）若y₁y₂=-4，求拋物線的方程；
（2）當b=2時，求證：a+c為定值．

Answer 1

分析：（1設）直線方程為y=k（x-

p

2

）或x=

p

2

（斜率k不存在）在與拋物線方程聯立，求出y₁y₂，再根據y₁y₂=-4，就可求出p值，進而求出拋物線方程．
（2）當b=2時，分別用含A，B，M三點坐標式子表示：k_MA，k_MF，k_MB，再利用它們的關系求a+c，看是否為常數．

解答：解：（1）設過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F（

p

2

，0）的直線方程為y=k（x-

p

2

）或x=

p

2

（斜率k不存在），則 

y2=2px  y=k(x- p 2 )

   得

k

2p

y2 -y-

px

2

=0，∴y₁y₂=-p²
當x=

p

2

（斜率k不存在）時，則A（

p

2

，p），B（

p

2

，-P），∴y₁y₂=-p²
又∵y₁y₂=-4∴P=2，∴所求拋物線方程為y²=4x
（2）設A（

y12

2p

，y₁），B（

y22

2p

，y₂），M（-

p

2

，t），F（

p

2

，0），
由已知直線MA，MF，MB的斜率分別記為：k_MA，=a，k_MF=b，k_MB=c，
得a=

y1-t

x1+ p 2

，b=

-t

p

，c=

y2-t

x2+ p 2

且x1=

y12

2p

，x2=

y22

2p

∴a+c=

y1-t

x1+ p 2

+

y2-t

x2+ p 2

=

y1-t

y12 2p + p 2

+

y2-t

y22 2p + p 2

=-

2t

p

=2b
∵b=2，∴a+c=4∴a+c為定值．

點評：本題主要考查了用直線與拋物線的位置關系，求拋物線方程，以及定植問題的考查，做題時應認真分析，找出聯系．