Question

【題目】經銷商經銷某種農產品，在一個銷售季度內，每售出1t該產品獲利潤500元，未售出的產品，每1t虧損300元．根據歷史資料，得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經銷商為下一個銷售季度購進了130t該農產品．以x（單位：t，100≤x≤150）表示下一個銷售季度內的市場需求量，T（單位：元）表示下一個銷售季度內經銷該農產品的利潤．

（1）將T表示為x的函數；
（2）根據直方圖估計利潤T不少于57000元的概率；
（3）在直方圖的需求量分組中，以各組的區間中點值代表該組的各個值，并以需求量落入該區間的頻率作為需求量取該區間中點值的概率（例如：若x∈[100，110））則取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110）的頻率，求T的數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得，當x∈[100，130）時，T=500x﹣300（130﹣x）=800x﹣39000，

當x∈[130，150）時，T=500×130=65000，

∴T= ．

（2）解：由（1）知，利潤T不少于57000元，當且僅當120≤x≤150．

由直方圖知需求量X∈[120，150]的頻率為0.7，

所以下一個銷售季度的利潤T不少于57000元的概率的估計值為0.7．

（3）解：依題意可得T的分布列如圖，

T	45000	53000	61000	65000
p	0.1	0.2	0.3	0.4

所以ET=45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59400．

【解析】（1）由題意先分段寫出，當x∈[100，130）時，當x∈[130，150）時，和利潤值，最后利用分段函數的形式進行綜合即可．（2）由（1）知，利潤T不少于57000元，當且僅當120≤x≤150．再由直方圖知需求量X∈[120，150]的頻率為0.7，利用樣本估計總體的方法得出下一個銷售季度的利潤T不少于57000元的概率的估計值．（3）利用利潤T的數學期望=各組的區間中點值×該區間的頻率之和即得．
【考點精析】本題主要考查了頻率分布直方圖和用樣本的頻率分布估計總體分布的相關知識點，需要掌握頻率分布表和頻率分布直方圖，是對相同數據的兩種不同表達方式.用緊湊的表格改變數據的排列方式和構成形式，可展示數據的分布情況.通過作圖既可以從數據中提取信息，又可以利用圖形傳遞信息；樣本數據的頻率分布表和頻率分布直方圖，是通過各小組數據在樣本容量中所占比例大小來表示數據的分布規律，它可以讓我們更清楚的看到整個樣本數據的頻率分布情況，并由此估計總體的分布情況才能正確解答此題．