Question

已知函數f(x)=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx（a，b，c∈R）在點（1，f（1））處的切線斜率為-

a

2

，且a＞2c＞b．
（1）證明：-2＜

b

a

＜-1．
（2）證明：函數f（x）在區間（0，2）內至少有一個極值點．

Answer 1

分析：（1）由函數f(x)=

1

3

ax3+

1

2

bx2+cx（a，b，c∈R）在點（1，f（1））處的切線斜率為-

a

2

，根據導數的幾何意義，得到a，b，c的一個方程，由a＞2c＞b，根據不等式的性質尋求關于a，b的不等式；
（2）求導，討論導函數在區間（0，2）內的零點情況，可得結論．

解答：解：（Ⅰ）∵f′(x)=ax2+bx+c，f′(1)=-

a

2

∴3a+2b+2c=0①
又∵a＞2c＞b，∴3a+2b+2c＜3a+2a+a=6a
結合①得a＞0
由①得2c=-3a-2b，∵a＞2c＞b，∴a＞-3a-2b＞b，
∵a＞0∴1＞-3-2•

b

a

＞

b

a

∴-2＜

b

a

＜-1
（Ⅱ）由①得∴f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=a-c，
（1）當c≤0時，∵a＞0，∴f′(1)=-

a

2

＜0且f'（2）=a-c＞0，∴f（x）在區間（1，2）內至少有一個極值點．
（2）當c＞0，∵a＞0，∴f'（0）=c＞0且f′(1)=-

a

2

＜0，∴f（x）在區間（0，1）內至少有一個極值點．
綜合1°和2°得，函數f（x）在區間（0，2）內至少有一個極值點．

點評：考查不等式的基本性質，由一個等式和一個不等式，探討-2＜

b

a

＜-1成立，難度較大，有效的考查靈活應用知識分析解決問題的能力；應用導數求函數的極值，體現了分類討論的數學思想，屬中檔題．