Question

已知a，b∈R⁺，且方程x²-（3a+2b-6）x+a+b-3=0的兩根分別為一個橢圓和一個雙曲線的離心率，則3a+b的取值范圍為（　�。�

• A、（0，6）
• B、（4，+∞）
• C、（0，5）
• D、（5，+∞）

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：首先，確定所給方程的根的分布，然后根據橢圓和雙曲線離心率的取值范圍，畫出可行域，從而確定3a+b的取值范圍．

解答： 解：∵方程x²-（3a+2b-6）x+a+b-3=0的兩根分別為
一個橢圓和一個雙曲線的離心率，
∴方程有兩個正實根，且一個根比1大，一個根比1�。�
設函數f（x）=x²-（3a+2b-6）x+a+b-3，
則

x1+x2＞0 x1•x2＞0 f(1)＜0

，
∴

3a+2b-6＞0 a+b-3＞0 2a+b-4＞0

，且a，b∈R⁺，
對應的可行域如下圖所示：
設z=3a+b，
顯然，過點A時，此時z有最小值4，
故z∈（4，+∞）．
故選：B．

點評：本題重點考查了方程的根分布、橢圓的離心率及其性質、雙曲線的離心率及其性質、線性規劃等知識，屬于中檔題，解題關鍵是準確理解線性規劃思想在解題中的靈活運用．