Question

【題目】在三棱臺中，為正三角形，，平面，．

（1）若為中點，求證：平面；

（2）求到平面的距離．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）

【解析】

（1）由平面，．得，從而有平面，在正中又有，這樣證得平面；

（2）注意到三棱臺的底面是正三角形，且平面，取中點中點，可證得平面平面，從而作于，則平面，即為所求，先由勾股定理列方程組求得，取中點，可證是平行四邊形，因此可求得的長及到的距離，從而把的面積用兩種方法表示后可求得．

（1）由題意，，

故平面，

又為中點，故，

又因為，

故平面；

（2）設，

則，

取中點中點，中點，

則由平面得：

平面平面，

作于，

則平面，即為所求，

連，在中，

求得，，

為斜邊中線，，

而平行且等于四邊形為平行四邊形，

故，且到的距離等于到的距離也等于的一半為．

．

所以點到平面的距離為．