Question

有編號為1，2，3，…，n的n個學生，入坐編號為1，2，3，…n的n個座位．每個學生規定坐一個座位，設學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數為ξ，已知ξ=2時，共有6種坐法．
（1）求n的值；
（2）求隨機變量ξ的概率分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）解題的關鍵是ξ=2時，共有6種坐法，寫出關于n的表示式，解出未知量，把不合題意的舍去．
（2）學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數為ξ，由題意知ξ的可能取值是0，2，3，4，當變量是0時表示學生所坐的座位號與該生的編號都相同，當變量是2時表示學生所坐的座位號與該生的編號有2個相同，理解變量對應的事件，寫出分布列和期望．

解答：解：（1）∵當ξ=2時，有C_n²種坐法，
∴C_n²=6，
即

n(n-1)

2

=6，
n2-n-12=0，n=4或n=-3（舍去），
∴n=4．

（2）∵學生所坐的座位號與該生的編號不同的學生人數為ξ，
由題意知ξ的可能取值是0，2，3，4，
當變量是0時表示學生所坐的座位號與該生的編號都相同，
當變量是2時表示學生所坐的座位號與該生的編號有2個相同，
當變量是3時表示學生所坐的座位號與該生的編號有1個相同，
當變量是4時表示學生所坐的座位號與該生的編號有0個相同，
∴P(ξ=0)=

1

A 4 4

=

1

24

，
P(ξ=2)=

C 2 4 ×1

A 4 4

=

6

24

=

1

4

，
P(ξ=3)=

C 3 4 ×2

A 4 4

=

8

24

=

1

3

，
P(ξ=4)=

9

24

=

3

8

，
∴ξ的概率分布列為：

∴Eξ=0×

1

24

+2×

1

4

+3×

1

3

+4×

3

8

=3．

點評：培養運用從具體到抽象、從特殊到一般的觀點分析問題的能力，充分體現數學的化歸思想．啟發誘導的同時，訓練了學生觀察和概括歸納的能力．