Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知圓，圓.

（1）若過點的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程；

（2）設動圓同時平分圓的周長、圓的周長.

①證明：動圓圓心在一條定直線上運動；

②動圓是否經過定點？若經過，求出定點的坐標；若不經過，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）①證明見解析；②.

【解析】

（1）設直線的方程，根據弦的垂徑定理結合點到直線的距離公式求解,注意斜率不存在的情況.

（2）①由垂徑定理得到圓心到、兩點的距離相等，再有兩點距離公式建立等式，化簡即可；②根據①設圓心的坐標，得到圓關于參數的一般形式，由此可得動圓經過與的交點，聯立解方程組即可.

（1）如圖：

當直線與軸垂直時，直線與圓相離，與題意不符；

當直線與軸不垂直時，設直線方程為，即，

圓心到直線的距離，

又，解得或.

直線的方程為或.

（2）①設動圓的圓心，半徑為，

若動圓同時平分圓的周長、圓的周長，

則,，所以，

即 ，化簡得.

過動圓圓心在直線上運動.

②動圓過定點，

設，動圓的半徑，

整理得，

由得或.

所以動圓過定點，坐標為或.