Question

已知且，函數，，記.

（Ⅰ）求函數的定義域的表達式及其零點；

（Ⅱ）若關于的方程在區間內僅有一解，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）0；（Ⅱ）若，則，；若，則. 

【解析】

試題分析：（Ⅰ）先求函數的定義域，注意對數的真數為正，分數的分母為正，由，變為兩個對數式相等，則兩個真數等，便有解方程即得，注意有無增根；（Ⅱ）用分離系數法變成

，把對數式轉換為指數式，利用函數的性質求解.

試題解析：（Ⅰ）（且）

 ，解得，所以函數的定義域為，

令，則……（*）方程變為

，，即，(3分)

解得，，

經檢驗是（*）的增根，所以方程（*）的解為，

所以函數的零點為.                                 (6分)

（Ⅱ）（）

 ，，

設，則函數在區間上是減函數，   (9分)

當時，此時，，所以，

①若，則，方程有解；

②若，則，方程有解.                       (12分)

 

考點：函數的零點，分類討論.