Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx的圖象過點（-4n，0），且f'（0）=2n，n∈N^*．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若數列a_n滿足

1

an+1

=f′(

1

an

)，且a₁=4，求數列a_n的通項公式；
（Ⅲ）記bn=

anan+1

，數列b_n的前n項和T_n，求證：

4

3

≤Tn＜2．

Answer 1

分析：（I）根據二次函數f（x）=ax²+bx的圖象過點（-4n，0），且f'（0）=2n建立方程組，解之即可求出f（x）的解析式；
（II）由條件得

1

an+1

-

1

an

=2n，然后利用累加得

1

an

的通項公式，從而求出a_n的通項公式；
（III）先根據條件求出b_n的通項公式，然后利用裂項求和法進行求和求出T_n，而2n+1≥3，從而證得

4

3

≤Tn＜2．

解答：解：（I）由

f′(x)=2ax+b∴ b=2n 16n2a-4nb=0

解之得

a= 1 2 ，b=2n，即f(x)= 1 2 x2+2nx(n∈N*)(4分)

（II）由條件得

1

an+1

=

1

an

+2n，
∴

1

an+1

-

1

an

=2n，累加得；
∴an=

1

n2-n+4

（n≥2）
當n=1時，a₁=2≠4不滿足上面的通項公式
則an=

4， n=1 1 n2-n+4 ， n≥2

（III）

bn= a n   a n+1   = 4 (2n-1)(2n+1) =2( 1 2n-1 - 1 2n+1 )

Tn=b1+b2++bn= a1a2 + a2a3 ++ a n   a n+1   =2[ (1- 1 3 )+( 1 3 - 1 5 )++( 1 2n-1 - 1 2n+1 ) ]=2(1- 1 2n+1 )＜2(12分)

∵2n+1≥3，2(1-

1

2n+1

)≥

4

3

∴

4

3

≤Tn＜2

點評：本題主要考查了數列與函數的綜合應用，同時考查了疊加法和裂項求和法的運用，屬于中檔題．