Question

【題目】已知函數

（Ⅰ）若函數在其定義域上為單調函數,求的取值范圍；

（Ⅱ）若函數的圖像在處的切線的斜率為0，，已知求證：

（Ⅲ）在（2）的條件下，試比較與的大小，并說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）略；（Ⅲ）<.

【解析】

試題（Ⅰ）利用導數求解單調性，把恒成立轉化為最值；（Ⅱ）可用數學歸納法來證明；（Ⅲ）通過放縮法來解決與的大小比較問題.

試題解析：(Ⅰ) ∵f(1)="a-b=0" ∴a=b

∴

∴

要使函數在其定義域上為單調函數，則在定義域（0，+∞）內恒大于等于0或恒小于等于0，

當a=0時，在（0，+∞）內恒成立；

當a>0時，恒成立，則∴

當a<0時，恒成立

∴a的取值范圍是:

(Ⅱ)∴a=1 則：

于是

用數學歸納法證明如下：

當n=1時，，不等式成立；

假設當n=k時，不等式成立，即也成立，

當n=k+1時，

所以當n=k+1時不等式成立，

綜上得對所有時，都有

（Ⅲ）由（2）得

于是

所以，

累乘得：則

所以