Question

10．已知邊長為$\sqrt{3}$的正三角形ABC三個頂點都在球O的表面上，且球心O到平面ABC的距離為該球半徑的一半，則球O的表面積為$\frac{16π}{3}$．

Answer 1

分析 設OO′⊥平面ABC，垂足是O′，設球半徑為r，則AO′=1，OA=r，OO′=$\frac{1}{2}r$，由勾股定理求出r²=$\frac{4}{3}$，由此能求出球O的表面積．

解答 解：如圖，設OO′⊥平面ABC，垂足是O′，設球半徑為r，
∵邊長為$\sqrt{3}$的正三角形ABC三個頂點都在球O的表面上，
且球心O到平面ABC的距離為該球半徑的一半，
∴AO′=$\frac{2}{3}\sqrt{3-\frac{3}{4}}$=1，OA=r，OO′=$\frac{1}{2}r$，
∵OA²=O′A²+OO^'2，∴${r}^{2}=1+\frac{{r}^{2}}{4}$
解得r²=$\frac{4}{3}$，
∴球O的表面積S=4πr²=$\frac{16π}{3}$．
故答案為：$\frac{16π}{3}$．

點評 本題考查球的表面積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．