Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a1=

1

2

，a_n+2S_nS_n-1=0（n≥2）．
（Ⅰ）問：數(shù)列{

1

Sn

}是否為等差數(shù)列？并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）求S_n和a_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）數(shù)列{

1

Sn

}是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，利用數(shù)列遞推式，可得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

1

Sn

=2+2（n-1）=2n，可得S_n的值，進(jìn)而可求a_n．

解答：解：（Ⅰ）數(shù)列{

1

Sn

}是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列．證明如下：
∵n≥2時，a_n+2S_nS_n-1=0，∴S_n-S_n-1+2S_nS_n-1=0
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=2
∵a1=

1

2

，∴

1

S1

=2
∴數(shù)列{

1

Sn

}是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

1

Sn

=2+2（n-1）=2n，∴S_n=

1

2n

；
∵n≥2時，a_n+2S_nS_n-1=0，
∴a_n=-2×

1

2n

×

1

2(n-1)

=

1

2n(1-n)

∴a_n=

1 2 ，n=1 1 2n(1-n) ，n≥2

．

點評：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的求和與通項，正確運用數(shù)列遞推式是關(guān)鍵．