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精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

在xoy平面上有一系列點P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)，…，P_n(x_n，y_n)，…，(n∈N*)，點P_n在函數(shù)y＝x²(x≥0)的圖象上，以點P_n為圓心的圓P_n與x軸都相切，且圓P_n與圓P_n+1又彼此外切．若x₁＝1且x_n+1＜x_n．

(Ⅰ)求數(shù)列{x_n}的通項公式；

(Ⅱ)設圓P_n的面積為S_n，求證：

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)圓P_n與P_n+1彼此外切，令r_n為圓P_n的半徑，

　　　　(2分)

　　兩邊平方并化簡得

　　由題意得，圓P_n的半徑

　　為首項，以2為公差的等差數(shù)列，

　　所以　　　　　　8分;

　　(Ⅱ)，　　　　　　　　　(10分)

　　　　　　　　　(13分)

　　所以，　　　　　　　　　　　　　　　　　(16分)

提示：

本題主要考查圓的性質(zhì)、數(shù)列的性質(zhì)及不等式證明等基本知識，同時考查邏輯推理能力．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在xoy平面上有一系列點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）…，P_n（x_n，y_n），…，（n∈N*），點P_n在函數(shù)y=x²（x≥0）的圖象上，以點P_n為圓心的圓P_n與x軸都相切，且圓P_n與圓P_n+1又彼此外切．若x₁=1，且x_n+1＜x_nx₁=1．
（I）求數(shù)列{x_n}的通項公式；
（II）設圓P_n的面積為S_n，Tn=

+…+

，求證：Tn＜

．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在xoy平面上有一系列點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…，對每個正整數(shù)n，以點P_n為圓心的⊙P_n與x軸及射線y=

x，（x≥0）都相切，且⊙P_n與⊙P_n+1彼此外切．若x₁=1，且x_n+1＜x_n（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{x_n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{x_n}的通項公式；
（2）設數(shù)列{a_n}的各項為正，且滿足a_n≤

xnan-1

xn+an-1

，a1=1，
求證：a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃+…+a_nx_n＜

3n-1

，（n≥2）
（3）對于（2）中的數(shù)列{a_n}，當n＞1時，求證：(1-an)2[

(1-

+…+

(1-

]＞

1+an+

+…+

．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在xoy平面上有一系列點P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）┉P_n（x_n，y_n），對于每個自然數(shù)n，點P_n（x_n，y_n）位于函數(shù)y=x²（x≥0）圖象上，以點P_n為圓心的⊙P_n與x軸相切，又與⊙P_n+1外切，若x₁=1，x_n+1＜x_n（n∈N₊），則數(shù)列{x_n}的通項公式x_n=

．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在xOy平面上有一系列點P₁（x₁,y₁）,P₂(x₂,y₂),…，P_n(x_n,y_n),…,對每個自然數(shù)n,點P_n位于函數(shù)y=x²(x≥0)的圖象上，以點P_n為圓心的⊙P_n與x軸都相切，且⊙P_n與⊙P_n+1又彼此外切.若x₁=1且x_n+1＜x_n?(n∈N^*).

(1)求證：數(shù)列{1x_n}是等差數(shù)列；

(2)設⊙P_n的面積為S_n,T_n=+…+,求證：T_n＜.