Question

已知函數．

（1）求函數的定義域；

（2）若函數的定義域關于坐標原點對稱，試討論它的奇偶性和單調性；

（3）在（2）的條件下，記為的反函數，若關于的方程

有解，求的取值范圍．

Answer 1

同下

解析:

（1），所以當時，定義域為；

當時，定義域為；

當時，定義域為                     ……4分

（2）函數的定義域關于坐標原點對稱，當且僅當，

此時，．                                   ……6分

對于定義域D=內任意，，

，所以為奇函數；……8分

當，在內單調遞減；由于為奇函數，所以在內單調遞減；                                                   ……11分

（3），                            ……14分

方程即，令，得，

又，所以當時方程有解.……18分

另解：令，得，，分三種情況討論：

①方程有兩根，解得

②方程有一正一負根，，解得

③方程有一正一零根，

綜上討論，可知.