Question

已知數列{a_n}的各項均為正數，觀察程序框圖，若k=5，k=10時，分別有S=

5

11

和S=

10

21

（1）試求數列{a_n}的通項；
（2）令b_n=2^a_n，求b₁+b₂+…+b_m的值．

Answer 1

（1）由框圖可知
S=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

akak+1

∵a_i+1=a_i+d，∴{a_n}是等差數列，設公差為d，則有

1

akak+1

=

1

d

(

1

ak

-

1

ak+1

)
∴S=

1

d

(

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

ak

-

1

ak+1

)=

1

d

(

1

a1

-

1

ak+1

)，
由題意可知，k=5時，S=

5

11

；k=10時，S=

10

21

∴

1 d ( 1 a1 - 1 a6 )= 5 11 1 d ( 1 a1 - 1 a11 )= 10 21

得

a1=1 d=2

或

a1=-1 d=-2

（舍去）
故a_n=a₁+（n-1）d=2n-1
（2）由（1）可得：b_n=2^an=2^2n-1
∴b₁+b₂++b_m=2¹+2³++2^2m-1
=

2(1-4m)

1-4

=

2

3

(4m-1)