Question

設全集U=R，集合A={x||2x-1|+|x-2|＜3}，B={y|y=x³-x²，x∈A}，求（∁_UA）∩B．

Answer 1

考點：交、并、補集的混合運算

專題：集合

分析：通過討論x的范圍，解不等式從而求出集合A，通過求導得到y=x³-x²的單調性，從而求出集合B，進而求出（∁_UA）∩B．

解答： 解：當x＜

1

2

時，原不等式變形為1-2x+2-x＜3，解得x＞0，
∴0＜x＜

1

2

，
當

1

2

≤x≤2時，原不等式變形為2x-1+2-x＜3，解得x＜2，
∴

1

2

≤x＜2，
當x≥2時，原不等式變形為2x-1+x-2＜3，解得x＜2，
∴x∈∅，
綜上，A={x|0＜x＜2}，
由y′=（x³-x²）′=3x²-2x=0，
解得：x=0或x=

2

3

，
當x∈（0，

2

3

）時，y′＜0；x∈（

2

3

，2）時，y′＞0，
∴y=x³-x²，x∈A={x|0＜x＜2}在（0，

2

3

）單減，在（

2

3

，2）單增．
∴y∈[-

4

27

，4），即B={y|-

4

27

≤y＜4}，
∴（∁_UA）∩B={x|-

4

27

≤x≤0或2≤x＜4}．

點評：本題考查了集合的運算，考查了分類討論思想，函數的單調性，是一道中檔題．