Question

在△ABC中，求證：a(sinB-sinc)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)=0.

Answer 1

思路分析：本題主要是考查正弦定理不同形式的應用，利用正弦定理的變形證明等式.

證法一：由正弦定理，得

asinB-bsinA=0,asinC-csinA=0,bsinc-csinB=0.

∴左邊=asinB-asinC+bsinC-bsinA+csinA-csinB

=(asinB-bsinA)+(bsinC-csinB)+(csinA-asinC)=0=右邊.

證法二：由正弦定理可得

左邊=2RsinA(sinB-sinC)+2RsinB(sinC-sinA)+2RsinC(sinA-sinB)

=2R(sinAsinB-sinAsinC+sinBsinC-sinBsinA+sinCsinA-sinCsinB)

=2R·0=0=右邊.

證法三：由正弦定理可得

左邊=

=(ab-ac+bc-ab+ac-bc) =0=右邊.

方法歸納 證法一是利用正弦定理化為同類項，經合并同類項而求得；證法二是利用正弦定理的變形將邊轉化為角，化簡求得；證法三是利用正弦定理的變形，把角關系均化為邊關系，化簡求得.