Question

在△ABC中，求證：

1+cosA-cosB+cosC

1+cosA+cosB-cosC

=tan

B

2

cot

C

2

．

Answer 1

分析：證明恒等式一般從復雜的一邊入手，選擇左邊，而右邊只含有兩個角，所以考慮根據三角形三角之間的關系化去一個角，兩次應用和差化積，約分整理，最后根據同角的三角函數關系得到等于右邊．

解答：解：∵左邊=

2cos2 A 2 -2sin B+C 2 sin C-B 2

2cos2 A 2 -2sin B+C 2 sin B-C 2

=

sin B+C 2 +sin B-C 2

sin B+C 2 -sin B-C 2

=

2sin B 2 cos C 2

2cos B 2 sin C 2

=tan

B

2

cot

C

2

=右邊，
∴原式成立．

點評：證明恒等常用以下方法：從一邊開始證明它等于另一邊，一般由繁到簡，這類方法的依據是相等關系的傳遞性“a=b，b=c，則a=c”．
證明左、右兩邊等于同一個式子．這類方法的依據是“等于同量的兩個量相等”，即“a=c，b=c，則a=b”，它可由相等關系的傳遞性及對稱性“a=b則b=a”推出．