Question

在△ABC中，
求證：（1）sin²A+sin²B+sin²C=2+2cosAcosBcosC；
（2）cos²A+cos²B+cos²C=1-2cosAcosBcosC．

Answer 1

分析：（1）將sin²B+sin²C移到另一側和2聯立用三角函數的基本關系化成角B、C的余弦，進而再根據A=π-B-C將cosA化為角B、C的關系即可證．
（2）根據C=π-B-A將cosC化為角B、A的關系即可證．

解答：證明：（1）要證sin²A+sin²B+sin²C=2+2cosAcosBcosC成立
即證sin²A=2-sin²B-sin²C+2cosAcosBcosC成立
又因為2-sin²B-sin²C+2cosAcosBcosC=cos²B+cos²C+2cos（π-B-C）cosBcosC
=cos²B+cos²C-2cos（B+C）cosBcosC=cos²B+cos²C-2（cosBcosC-sinBsinC）cosBcosC
=cos²B+cos²C-2cos²Bcos²C+2sinBsinCcosBcosC
=（cos²B-cos²Bcos²C）+（cos²C-cos²Bcos²C）+2sinBsinCcosBcosC
=cos²Bsin²C+cos²Csin²C+2sinBsinCcosBcosC
=（cosBsinC+cosCsinC）²
=sin²（B+C）=sin²（π-A）=sin²A
即證．
（2）cosC=cos[π-（A+B）]=cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB
左邊=cos²A+cos²B+cos²Acos²B+sin²Asin²B-2cosAcosBsinAsinB
=cos²A+cos²B+cos²Acos²B+（1-cos²A）（1-cos²B）-2cosAcosBsinAsinB
=1-2[cos²Acos²B-cosAcosBsinAsinB]
=1-2cosAcosB（cosAcosB-sinAsinB）
=1-2cosAcosBcos（A+B）
=1-2cosAcosBcos[π-（A+B）]
=1-2cosAcosBcosC=右邊
即證．

點評：本題主要考查三角函數的基本關系式．這里要注意的試在三角形中三個角的和為π，經常通過一個角等于π減另外兩個角來轉化．