Question

【題目】已知橢圓 的右焦點為 ，上頂點為 ， 周長為 ，離心率為 .
（1）求橢圓 的方程；
（2）若點 是橢圓 上第一象限內的一個點，直線 過點 且與直線 平行，直線 且 與橢圓 交于 兩點，與 交于點 ，是否存在常數 ，使 .若存在，求出 的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知 ， ，
又 ，∴ ， ，
∴橢圓 的方程為 .
（2）解：由 得 ，∴ ，
又 ， ， ，
∴ 的方程為 ，可設 方程為 ，
由 得 ，
由 得 ， ， ，
設 ， ，則 ， ，
由弦長公式： ，
同理， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴存在常數 ，使
【解析】（1）考查了橢圓的幾何性質與標準方程。
（2）考查了橢圓的綜合應用、弦長公式。