Question

設函數（x）的定義域為D，若存在非零實數使得對于任意x∈M（M⊆D），有x+1∈D，且f（x+1）≥f（x），則稱f（x）為M上的“1高調函數”．現給出下列命題：
①函數f（x）=log₂x（0，+∞）上的“1高調函數”；
②函數f（x）=cos2x為R上的“π高調函數”；
③如果定義域為[-1，+∞）的函數f（x）=x²為[-1，+∞）上“m高調函數”，那么實數m的取值范圍是[1，+∞）．
其中正確的命題是

①②

．（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：根據高調函數的定義證明條件f（x+1）≥f（x）是否成立即可．

解答：解：①∵f（x）=log₂^x為增函數，∴當m＞0時，log₂（x+m）≥log₂^x，∴函數f（x）=log₂^x為（0，+∞）上的m（m＞0）高調函數，1＞0，∴①正確；
②∵cos2（x+π）=cos2x，∴函數f（x）=cos2x為R上的π高調函數，∴②正確，
③如果定義域為[-1，+∞）的函數f（x）=x²為[-1，+∞）上m高調函數，則

m＞0 -2m+m2≥0

，
解得m≥2，即實數m的取值范圍[2，+∞），∴③不正確．
故答案為：①②．

點評：本題主要考查與函數有關的新定義的應用，弄清新定義的本質，找到判斷的標準是解本題的關鍵．