Question

16．（1）在△ABC中，已知a-b=4，a+c=2b，且最大角為120°，求△ABC的三邊長．
（2）在銳角三角形中，邊a、b是方程x²-2$\sqrt{3}$x+2=0的兩根，角A、B滿足2sin（A+B）-$\sqrt{3}$=0，求角C的度數，邊c的長度及△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據題意得出最大角為A，由余弦定理求出a的值，再求b、c的值；
（2）由題意求出角C的值，再根據根與系數的關系和余弦定理，即可求出三角形的面積．

解答 解：（1）△ABC中，a-b=4，a+c=2b，且最大角為120°，
∴b=a-4，c=a-8，A=120°；
由余弦定理得：
cosA=$\frac{{b}^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=$\frac{{（a-4）}^{2}{+（a-8）}^{2}{-a}^{2}}{2（a-4）（a-8）}$=-$\frac{1}{2}$，
解得：a=4（不合題意，舍去）或a=14，
∴b=14-4=10，c=14-8=6；
（2）由2sin（A+B）-$\sqrt{3}$=0，
得sin（A+B）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵△ABC為銳角三角形，
∴A+B=120°，C=60°，
又∵a、b是方程x²-2$\sqrt{3}$x+2=0的兩根，
∴a+b=2$\sqrt{3}$，
又a•b=2，
∴c²=a²+b²-2a•bcosC=（a+b）²-3ab=12-6=6，
∴c=$\sqrt{6}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了余弦定理的應用問題，也考查了解三角形和根與系數的關系，是綜合性題目．