Question

（2012•安徽模擬）已知函數(shù)f（x）=alnx+x（a為實(shí)常數(shù)）
（1）若a=-1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若直線y=2x-1是曲線y=f（x）的切線，求a的值．

Answer 1

分析：（1）把a(bǔ)=-1代入函數(shù)f（x）=alnx+x，然后對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）已知直線y=2x-1是曲線y=f（x）的切線，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與直線斜率的關(guān)系可得切點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出a值；

解答：解：（1）當(dāng)a=-1代入可得f（x）=alnx+x=-lnx+x，（x＞0）
∴f′（x）=-

1

x

+1=

x-1

x

，
令f′（x）＜0，可得0＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：[0，1]；
（2）設(shè)切點(diǎn)為（x₀，2x₀-1），f′（x）=1+

a

x

，
直線y=2x-1是曲線y=f（x）的切線，
∴1+

a

x0

=2，
∴x₀=a，
又2x₀-1=alnx₀+x₀，可得alna-a+1=0，
設(shè)y=xlnx-x+1得y′=lnx，
當(dāng)x＞1時(shí)，y′＞0，
y=xlnx-x+1單調(diào)遞增，
∴0＜x＜1時(shí)，y′＜0，y為單調(diào)遞減，
y=xlnx-x+1有唯一的零點(diǎn)x=1，
得a=1；

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究切線的方程，以及單調(diào)區(qū)間，是一道基礎(chǔ)題，比較簡單；