Question

已知函數f(x)=

1

3

x3-2x2+ax(a∈R，x∈R)在曲線y=f（x）的所有切線中，有且僅有一條切線l與直線y=x垂直．
（Ⅰ）求a的值和切線l的方程；
（Ⅱ）設曲線y=f（x）上任一點處的切線的傾斜角為θ，求θ的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知可得函數的導函數，即切線斜率的函數，因為在曲線y=f（x）的所有切線中，有且僅有一條切線l與直線y=x垂直，所以導函數只有一個實根，進而易得a的值與切線1的方程．
（2）因為在曲線y=f（x）的所有切線中，有且僅有一條切線l與直線y=x垂直，顯然切線斜率≥-1從而可以解出θ的范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

1

3

x2-2x2+ax，
∴f^/（x）=x²-4x+a．（2分）
∵在曲線y=f（x）的所有切線中，有且僅有一條切線l與直線y=x垂直，
∴x²-4x+a=-1有且只有一個實數根．
∴△=16-4（a+1）=0，
∴a=3．（4分）
∴x=2，f(2)=

2

3

．
∴切線l：y-

2

3

=-(x-2)，即3x+3y-8=0．（7分）
（Ⅱ）∵f^/（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1≥-1．（9分）
∴tanθ≥-1，（10分）
∵θ∈[0，π），
∴θ∈[0，

π

2

)∪[

3π

4

，π)（13分）

點評：本題考查了直線的點斜式方程及直線的傾斜角，是一道綜合題，應注意運用導函數求解．