Question

【題目】設f（x）是定義在R上的奇函數，且f（2）=0，當x＞0時，有xf′（x）﹣f（x）＜0恒成立，則不等式x2f（x）＞0的解集是 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
【解析】解：構造函數g（x）= ，g′（x）= ， 因為當x＞0時，有xf′（x）﹣f（x）＜0恒成立，即g′（x）= ＜0恒成立，
所以在（0，+∞）內g（x）單調遞減．
因為f（2）=0，所以f（x）在（0，2）內恒有f（x）＞0；在（2，+∞）內恒有f（x）＜0．
又因為f（x）是定義在R上的奇函數，
所以在（﹣∞，﹣2）內恒有f（x）＞0；在（﹣2，0）內恒有f（x）＜0．
又不等式x2f（x）＞0的解集等價為不等式f（x）＞0的解集．
所以不等式的解集為（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．
所以答案是：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的性質的相關知識，掌握函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集，以及對利用導數研究函數的單調性的理解，了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．