Question

12．已知對任意平面向量$\overrightarrow{AB}$=（x，y），把$\overrightarrow{AB}$繞其起點沿逆時針旋轉θ角得到向量$\overrightarrow{AP}$=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把點B繞點A逆時針方向旋轉角θ得到點P，設平面內曲線C上的每一點繞原點逆時針方向旋轉$\frac{π}{4}$后得到點的軌跡是曲線x²-y²=2，則原來曲線C的方程是（　　）

• A． xy=-1
• B． xy=1
• C． y²-x²=2
• D． y²-x²=1

Answer 1

分析 設平面內曲線C上的點P（x，y），根據把點B繞點A逆時針方向旋轉θ角得到點P的定義，可求出其繞原點沿逆時針方向旋轉$\frac{π}{4}$后得到點P′（$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-y），$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+y）），另由點P′在曲線x²-y²=2上，代入該方程即可求得原來曲線C的方程．

解答 解：設平面內曲線C上的點P（x，y），則其繞原點沿逆時針方向旋轉$\frac{π}{4}$后得到點P′（$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-y），$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+y）），
∵點P′在曲線x²-y²=2上，
∴[$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-y）]²-[$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x+y）]²=2，
整理得xy=-1．
故選：A．

點評 此題是基礎題．考查向量在幾何中的應用以及圓錐曲線的軌跡問題，同時考查學生的閱讀能力和分析解決問題的能力以及計算能力．