Question

等差數列{a_n}不是常數列，且a₁=1，若a₁，a₃，a₉構成等比數列．
（1）求a_n；
（2）求數列{an•2an}前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由a₁，a₃，a₉構成等比數列，求出等差數列的公差，從而寫出通項公式；
（2）把通項公式代入an•2an，運用錯位相減法求數列{an•2an}前n項和S_n．

解答：解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d，由a₁，a₃，a₉構成等比數列，得a1a9=a32，即1×（1+8d）=（1+2d）²，解得d=1，或d=0（舍去），
∴d=1，所以a_n=n．
（2）設數列{an•2an}前n項和為s_n，則
sn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n
兩邊同乘以2得2sn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1
兩式相減得sn=n•2n+1-（2¹+2²+…+2ⁿ）=（n-1）2^n-1+2．

點評：求一個等差和一個等比數列對應項的積構成的數列的前n項和，常用方法是錯位相減法，注意錯位相減法的解題技巧是把第一個和式兩邊同乘以等比數列的公比，特別注意相減后最后一項的符號．