Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，側面PAD垂直底面ABCD，且△PAD為正三角形，E為側棱PD的中點．
（I）求證：AE⊥平面PCD；
（II）求平面PAB與平面PDC所成二面角的大小；
（III）求直線PB與平面PDC所成角的大小．

Answer 1

證明：（I）因為：側面PAD⊥底面ABCD，所以：CD⊥側面PAD，可知：AE⊥CD
而在正三角形PAD中，AE是PD邊上的中線，也是它上的高，即：AE⊥PD，
∵CD∩PD=D
所以：AE⊥平面PCD
解：（II）∵CD∥AB
∴CD∥平面PAB
設平面PCD 與平面PAB的交線為l
∴CD∥l
∵四棱錐P-ABCD的底面是正方形，側面PAD垂直底面ABCD
∴CD⊥平面PAD
∴∠APD為平面PAB與平面PDC所成二面角的平面角
∵△PAD為正三角形
∴∠APD=60°
∴平面PAB與平面PDC所成二面角的平面角為60°．
（III）∵△PAD為正三角形，E為側棱PD的中點
∴AE⊥平面PCD
設AD=a，則AE=
∵AB∥平面PCD
∴B到平面PCD的距離
設直線PB與平面PDC所成角為α
∴
∴
分析：（I）根據側面PAD⊥底面ABCD，所以CD⊥側面PAD，可知：AE⊥CD，又AE⊥PD，所以AE⊥平面PCD
（II）設平面PCD 與平面PAB的交線為l，根據四棱錐P-ABCD的底面是正方形，側面PAD垂直底面ABCD，可知CD⊥平面PAD，所以∠APD為平面PAB與平面PDC所成二面角的平面角，故可求；
（III）先求B到平面PCD的距離，PB的長，設直線PB與平面PDC所成角為α，利用正弦函數可求．
點評：本題以四棱錐為載體，考查線面垂直，考查面面角，考查線面角，綜合性強．