Question

如圖所示的曲線是函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d的大致圖象，則x₁²+x₂²等于

16

9

．

Answer 1

分析：由圖象知f（-1）=f（0）=f（2）=0，解出 b、c、d的值，由x₁和x₂是f^′ （x）=0的根，使用根與系數(shù)的關系得到x₁+x₂=

2

3

，x₁•x₂=-

2

3

，則由x₁²+x₂² =（x₁+x₂）²-2x₁•x₂ 代入可求得結(jié)果．

解答：解：∵f（x）=x³+bx²+cx+d，由圖象知，-1+b-c+d=0，0+0+0+d=0，
8+4b+2c+d=0，∴d=0，b=-1，c=-2
∴f^′ （x）=3x²+2bx+c=3x²-2x-2． 由題意有 x₁ 和 x₂ 是函數(shù)f（x）的極值，
故有 x₁ 和 x₂ 是 f^′ （x）=0的根，∴x₁+x₂=

2

3

，x₁•x₂=-

2

3

．
則x₁²+x₂² =（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=

4

9

+

4

3

=

16

9

，
故答案為：

16

9

．

點評：本題考查一元二次方程根的分布，根與系數(shù)的關系，函數(shù)在某點取的極值的條件，以及求函數(shù)的導數(shù)，屬中檔題．