Question

13．正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的體積為（　　）

• A． $\frac{243π}{16}$
• B． $\frac{81π}{16}$
• C． $\frac{81π}{4}$
• D． $\frac{27π}{4}$

Answer 1

分析 正四棱錐P-ABCD的五個頂點在同一球面上，則其外接球的球心在它的高PO₁上，記為O，求出AO₁，OO₁，解出球的半徑，求出球的體積．

解答 解：正四棱錐P-ABCD的外接球的球心在它的高PO₁上，
記為O，PO=AO=R，PO₁=4，OO₁=4-R，
在Rt△AO₁O中，AO₁=$\sqrt{2}$，由勾股定理R²=2+（4-R）²得R=$\frac{9}{4}$，
∴球的體積為$\frac{243}{16}π$．
故選A．

點評 本題考查球的表面積，球的內接體問題，解答關鍵是確定出球心的位置，利用直角三角形列方程式求解球的半徑．