Question

已知函數f(x)=

1+sin2x

sinx+cosx

，給出下列結論：
①f（x）的定義域為{x|x≠2kπ-

π

4

，k∈Z}；
②f（x）的值域為[-1，1]；
③f（x）是周期函數，最小正周期為2π；
④f（x）的圖象關于直線x=

π

4

對稱；
⑤將f（x）的圖象向右平移

π

2

個單位得到g（x）的圖象，則g（x）為奇函數．
其中正確的結論是

③④

．

Answer 1

分析：①通過求解函數的分母的定義域，即可判斷①的正誤；②由化簡函數的表達式，求出函數值，可判斷②的正誤；③求出函數的周期，可判斷③的正誤；④利用由f（x）的圖象可判斷 ④的正誤；⑤將函數的圖象向右平移

π

2

個單位平移，求出g（x），然后判斷其正誤．

解答：解：∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）≠0，
∴x+

π

4

≠kπ即x≠kπ-

π

4

，故①錯誤；
∵f(x)=

1+sin2x

sinx+cosx

=

|sinx+cosx|

sinx+cosx

=±1，
∴f（x）的值域為{-1，1}，故②錯誤；
∵f（x+2π）=f(x)=

1+sin2(x+2π)

sin(x+2π)+cos(x+2π)

=

1+sin2x

sinx+cosx

=f（x），
∴f（x）是周期函數，
又f（x）=

1   x∈(2kπ- π 4  ，2kπ+ 3π 4  )(k∈ Z ) -1  x∈(2kπ- 5π 4 ，2kπ- π 4   ) (k∈Z)

，
∴其最小正周期為2π；故③正確；
由f（x）=

1   x∈(2kπ- π 4  ，2kπ+ 3π 4  )(k∈ Z ) -1  x∈(2kπ- 5π 4 ，2kπ- π 4   ) (k∈Z)

的圖象可知…x=-

3π

4

，x=

π

4

，x=

5π

4

，…均為其對稱軸，故④正確；
將函數f(x)=

1+sin2x

sinx+cosx

的圖象向右平移

π

2

個單位得到g（x）的圖象，得g（x）=

|sinx-cosx|

sinx-cosx

，
g（-x）=

|-sinx-cosx|

-sinx-cosx

=-

|sinx+cosx|

sinx+cosx

≠

|sinx-cosx|

sinx-cosx

，故⑤錯誤．
綜上所述：③④正確．
故答案為：③④．

點評：本題考查正余弦函數的定義域和值域，向量的平移及三角函數的周期性及其求法，著重考查學生綜合分析與應用的能力，注重了分類討論，轉化，數形結合思想的考查．