Question

銷售甲、乙兩種商品所得利潤分別為P（萬元）和Q（萬元），它們與投入資金t（萬元）的關系有公式P=

1

5

t，Q=

4

5

t

，今將10萬元資金投入經營甲、乙兩種商品，其中對甲種商品投資x萬元．
（1）建立總利潤y（萬元）關于x的函數關系式；
（2）求總利潤的最大值．

Answer 1

分析：（1）由于對甲種商品投資x萬元，因此獲利P=

1

5

x萬元；因為總共投資10萬元，所以對乙商品投資（10-x）萬元，獲利Q=

4

5

10-x

萬元．即可得出總利潤與投資x的關系式．
（2）令

10-x

=t，化簡得y=-

1

5

t2+

4

5

t+2(0≤t≤

10

)，利用二次函數的單調性和取得最大值的條件即可得出，從而得出相應的x的值．

解答：解：（1）由于對甲種商品投資x萬元，可知對乙商品投資（10-x）萬元．根據相應利潤與投資的關系可得
y=

1

5

x+

4

5

10-x

(0≤x≤10)，
（2）令

10-x

=t，化簡得y=-

1

5

t2+

4

5

t+2(0≤t≤

10

)，
當t=-

4 5

2×(- 1 5 )

=2時，即

10-x

=2，解得x=6時，y取得最大值

14

5

．
答：總利潤的最大值為

14

5

．

點評：本題考查了二次函數的單調性、換元法、投資與獲得利潤之間的關系等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．