Question

銷售甲、乙兩種商品所得利潤分別是y₁、y₂萬元，它們與投入資金x萬元的關系分別為，y₂=bx，（其中m，a，b都為常數），函數y₁，y₂對應的曲線C₁、C₂如圖所示．
（1）求函數y₁、y₂的解析式；
（2）若該商場一共投資4萬元經銷甲、乙兩種商品，求該商場所獲利潤的最大值．

Answer 1

解：（1）由題意，解得，…（4分）
又由題意得（x≥0）…（7分）
（不寫定義域扣一分）
（2）設銷售甲商品投入資金x萬元，則乙投入（4-x）萬元
由（1）得，（0≤x≤4）…（10分）
令，則有=，，
當t=2即x=3時，y取最大值1．
答：該商場所獲利潤的最大值為1萬元．…（14分）
（不答扣一分）
分析：（1）根據所給的圖象知，兩曲線的交點坐標為，由此列出關于m，a的方程組，解出m，a的值，即可得到函數y₁、y₂的解析式；
（2）對甲種商品投資x（萬元），對乙種商品投資（4-x）（萬元），根據公式可得甲、乙兩種商品的總利潤y（萬元）關于x的函數表達式；再利用配方法確定函數的對稱軸，結合函數的定義域，即可求得總利潤y的最大值．
點評：本題考查了函數模型的構建以及換元法、配方法求函數的最值，體現用數學知識解決實際問題，屬于基礎題．