Question

在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AD=2，AA₁=3，∠BAD=90°，∠BAA₁=∠DAA₁=60°．若

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AA1

=

c

（1）用基底{

a

 ， 

b

 ，

c

}表示向量

BM

；
（2）求向量

AC1

的長度．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義可得

BM

=

BB1

+

B1M

=

BB1

+

1

2

（

A1D1

-

A1B1

），把已知的條件代入化簡可得結果．
（2）利用兩個向量的數量積的定義求出基底中每個向量的模以及每兩個向量的數量積，由 |

AC

|=

( a + b + c )2

=

a 2+ b 2+  c 2+2 a • b +2 b • c +2 a • c

運算求得結果．

解答：解：（1）由題意可得

BM

=

BB1

+

B1M

=

BB1

+

1

2

B1D1

=

BB1

+

1

2

（

A1D1

-

A1B1

）=

c

+

1

2

(

b

-

a

)，
故

BM

=-

1

2

a

+

1

2

b

+

c

．-------（6分）
（2）由條件得 |

a

|=1，|

b

|=2，|

c

|=3． 

a

•

b

=0，

a

•

c

=

3

2

，

b

•

c

=3．-------（9分）

AC1

=

a

+

b

+

c

．------（11分）
故 |

AC

|=

( a + b + c )2

=

a 2+ b 2+  c 2+2 a • b +2 b • c +2 a • c

=

23

．------（15分）

點評：本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量的數量積的定義，向量的模的定義，求向量的模的方法，屬于基礎題．