Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

n+n

＞

11

24

  （n∈N，n≥1）

Answer 1

分析：直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟證明不等式，（1）驗證n=1時不等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時成立，利用放縮法證明n=k+1時，不等式也成立．

解答：證明：（1）當(dāng)n=1時，左邊=

1

2

＞

11

24

，∴n=1時成立（2分）
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時成立，即

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

k+k

＞

11

24

那么當(dāng)n=k+1時，左邊=

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

k+k

+

1

K+1+k

+

1

k+1+k+1

=

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

k+k

+

1

k+k+1

+

1

k+1+k+1

-

1

k+1

＞

11

24

+

1

2k+1

-

1

2k+2

＞

11

24

．
∴n=k+1時也成立（7分）
根據(jù)（1）（2）可得不等式對所有的n≥1都成立（8分）

點評：本題是中檔題，考查數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，注意不等式的證明方法，放縮法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力．