Question

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,是半圓的直徑,是半圓(除端點(diǎn))上的任意一點(diǎn).在線段的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)，使,試求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程

Answer 1

點(diǎn)的軌跡方程為

試題分析：[解法一]連結(jié),由已知可得,
∴ 點(diǎn)在以為弦,所對(duì)圓周角為的圓上．
設(shè)該圓的圓心為,則點(diǎn)在弦的中垂線上,即軸上,且,
∴,.圓的方程為.
當(dāng)點(diǎn)趨近于點(diǎn)時(shí),點(diǎn)趨近于點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)趨近于點(diǎn)時(shí),點(diǎn)趨近于點(diǎn).
所以點(diǎn)的軌跡方程為
[解法二] 連結(jié)，由已知可得,
設(shè),則
故若設(shè)直線的斜率為時(shí),直線的斜率為.
故為兩直線及的交點(diǎn),消去得
,當(dāng)時(shí),也在該圓上.
結(jié)合可知,點(diǎn)的軌跡方程為
點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是建立動(dòng)點(diǎn)滿足的關(guān)系式，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，建立關(guān)系式，將關(guān)系式坐標(biāo)化，然后化簡(jiǎn)得到其軌跡方程，一般來說，先考慮運(yùn)用定義法求解軌跡，再考慮運(yùn)用直接法來求解，中檔題。