Question

關于函數y=log₂（x²-2x+3）有以下4個結論：
①定義域為（-∞，-3]∪（1，+∞）；
②遞增區間為[1，+∞）；
③最小值為1；
④圖象恒在x軸的上方．
其中正確結論的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：對于結論①求函數y=log₂（x²-2x+3）的定義域只需要使x²-2x+3＞0解出即可驗證．
對于結論②遞增區間為[1，+∞），求復合函數的遞增區間．可設t=x²-2x+3，又f（t）=log₂^t是關于t的增函數，故函數t=x²-2x+3的增區間即是y=log₂（x²-2x+3）的增區間．
對于結論③最小值為1，因為復合函數f（t）=log₂^t是關于t的增函數，則t取最小值時f（t）最小，求函數函數t=x²-2x+3的最小值代入即可．
對于結論④圖象恒在x軸的上方，可判斷函數最小值在x軸的上方即可．
解答：解：函數y=log₂（x²-2x+3），
對于結論①定義域為（-∞，-3]∪（1，+∞）．因為：x²-2x+3=（x-1）²+2恒大于0，所以定義域為R．所以結論①是錯誤的．
對于結論②遞增區間為[1，+∞）；設t=x²-2x+3，在區間[1，+∞）上拋物線是增函數則t＞2．又對數函數在t＞2也為增函數，故增區間為[1，+∞），正確．
對于結論③最小值為1，因為復合對數函數f（t）=log₂^t是關于t的增函數，則t取最小值f（t）最小．對于函數t=x²-2x+3在x=1處取得最小值，即t=2．代入f（2）=log₂²=1，所以函數y=log₂（x²-2x+3）的最小值為1，即結論正確．
對于結論④圖象恒在x軸的上方，因為結論③最小值為1正確，而最小值1在X軸上方，故結論正確．
故答案為②③④．
點評：此題主要考查對數函數的定義域值域單調區間的問題．其中涉及到復合函數的單調區間，最值的求法．有一定的技巧性，屬于中檔題目．