Question

關(guān)于函數(shù)y=log2(x2-2x+3)有以下4個結(jié)論：其中正確結(jié)論的序號是

②③④

．
①定義域（-∞，-3）∪（1，+∞）；
②遞增區(qū)間[1，+∞）；
③最小值1；
④圖象恒在x軸的上方．

Answer 1

分析：設t=x²-2x+3，則函數(shù)等價為y=log₂t，利用二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別進行判斷．

解答：解：設t=x²-2x+3，則函數(shù)等價為y=log₂t．
①要使函數(shù)有意義，則t=x²-2x+3＞0，
∵t=x²-2x+3=（x-1）²+2≥2，
∴t=x²-2x+3＞0恒成立，
即函數(shù)的定義域為R，∴①錯誤．
②∵t=x²-2x+3=（x-1）²+2，
∴t=x²-2x+3在[1，+∞）上單調(diào)遞增，則（-∞，1]上單調(diào)遞減，
∵y=log₂t 在定義域上單調(diào)遞增，
∴根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系可知，函數(shù)y=log2(x2-2x+3)在[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴②正確．
③∵t=x²-2x+3=（x-1）²+2≥2，y=log₂t 在定義域上單調(diào)遞增，
∴y=log₂t≥log₂2=1，
即函數(shù)的最小值為1，∴③正確．
④由③知y≥1且y=log₂t 在定義域上單調(diào)遞增，
∴圖象恒在x軸的上方，∴④正確．
故答案為：②③④．

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用換元法結(jié)合復合函數(shù)的之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．