Question

已知f（x）=9^x-2×3^x+4，x∈[-1，2]．
（1）設t=3^x，x∈[-1，2]，求t的最大值與最小值；
（2）求f（x）的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）設t=3^x，由 x∈[-1，2]，且函數t=3^x 在[-1，2]上是增函數，故有

1

3

≤t≤9，由此求得t的最大值和最小值．
（2）由f（x）=t²-2t+4=（t-1）²+3，可得此二次函數的對稱軸為 t=1，且

1

3

≤t≤9，由此求得f（x）的最大值與最小值．

解答：解：（1）設t=3^x，∵x∈[-1，2]，函數t=3^x 在[-1，2]上是增函數，故有

1

3

≤t≤9，故t的最大值為9，t的最小值為

1

3

．
（2）由f（x）=9^x-2×3^x+4=t²-2t+4=（t-1）²+3，可得此二次函數的對稱軸為 t=1，且

1

3

≤t≤9，
故當t=1時，函數f（x）有最小值為3，
當t=9時，函數f（x）有最大值為 67．

點評：本題主要考查指數函數的綜合題，求二次函數在閉區間上的最值，屬于中檔題．