Question

關于x的方程2^x=a²+a在（-∞，1]上有解，則實數a的取值范圍是

[-2，-1）∪（0，1]

．

Answer 1

分析：由指數函數的性質可知，當x∈（-∞，1]，y=2^x∈（0，2]，從而得到關于a的不等式組，解之即可．

解答：解：∵x∈（-∞，1]，
∴y=2^x∈（0，2]，
又關于x的方程2^x=a²+a在（-∞，1]上有解，
∴0＜a²+a≤2．
即

a2+a＞0，① a2+a≤2，②

解①得a＞0或a＜-1；
解②得-2≤a≤1．
由①②得：-2≤a＜-1或0＜a≤1．
故答案為：[-2，-1）∪（0，1]．

點評：本題考查指數函數的性質，考查一元二次不等式組的解法，得到0＜a²+a≤2是關鍵，也是難點，屬于中檔題．